Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $\lambda$: [1,2 puntos]

$\begin{cases} \lambda x + y = 1 \\ x + \lambda y + z = 2 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$

b) Resolverlo para $\lambda = 1$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{. [1,2 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & 0 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la primera fila, aprovechando el cero:

$|A|=\lambda\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=\lambda(\lambda-1)-0$

$|A|=\lambda^{2}-\lambda=\lambda(\lambda-1)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases} \lambda=0 \\ \lambda=1 \end{cases}$

Si $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1$, el determinante no se anula y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda=0$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$

En la matriz de coeficientes la tercera fila es la suma de las dos primeras, pero en los términos independientes no ocurre lo mismo: $1+2=3\neq 2$. Las tres ecuaciones son, pues, contradictorias.

$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=0+2+1-0-0-2=1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden: el sistema es incompatible.

Para $\lambda=1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$

Ahora la segunda y la tercera filas son idénticas, también en el término independiente, de modo que una de las dos ecuaciones sobra.

$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

$\textbf{b) Resolverlo para } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Prescindimos de la tercera ecuación, que repite la segunda.

$\begin{cases} x+y=1 \\ x+y+z=2 \end{cases}$

Restando la primera de la segunda queda determinada la tercera incógnita:

$z=1$

y de la primera se despeja $y$ en función de $x$. Tomando $x=t$ como parámetro:

$\begin{cases} x=t \\ y=1-t \\ z=1 \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación: $t+(1-t)+1=2$.

Las soluciones para $\lambda=1$ son los infinitos puntos de la recta $(t,\,1-t,\,1)$.