Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones $f(x) = \dfrac{2}{x}$ y $g(x) = 3 - x$. [0,5 puntos]

b) Sabiendo que en el intervalo $[1,2]$ se verifica que $g(x) \geq f(x)$, calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{2}{x}}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x) = 3 - x}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Igualamos las dos expresiones y quitamos denominadores, teniendo en cuenta que $x\neq 0$.

$\dfrac{2}{x}=3-x \Rightarrow 2=3x-x^{2} \Rightarrow x^{2}-3x+2=0$

$x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{3\pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=2 \end{cases}$

Las dos soluciones son válidas y sus ordenadas se obtienen de cualquiera de las funciones:

$x=1 \Rightarrow y=2 \qquad x=2 \Rightarrow y=1$

Los puntos de corte son $(1,2)$ y $(2,1)$.

$\textbf{b) Sabiendo que en el intervalo } \boldsymbol{[1,2]}\textbf{ se verifica que } \boldsymbol{g(x) \geq f(x)}\textbf{, calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. [1,5 puntos]}$

Los extremos del recinto son precisamente las abscisas de los puntos de corte, y el enunciado ya nos dice cuál de las dos curvas queda por encima, así que el área es la integral de la diferencia.



$\mathcal{A}=\int_{1}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]dx=\int_{1}^{2}\left(3-x-\dfrac{2}{x}\right)dx$

$=\left[3x-\dfrac{x^{2}}{2}-2\ln|x|\right]_{1}^{2}$

$=\left(6-2-2\ln 2\right)-\left(3-\dfrac{1}{2}-0\right)=4-2\ln 2-\dfrac{5}{2}$

$\mathcal{A}=\dfrac{3}{2}-2\ln 2\approx 0{,}114$

El área del recinto es $\dfrac{3}{2}-2\ln 2\approx 0{,}114$ unidades de área: sale pequeña porque en ese tramo las dos curvas están muy próximas.