Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - \cos x - x}{e^{x} + \operatorname{sen} x - 1}$. [1 punto]

b) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} (\operatorname{sen} x + \cos x)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - \cos x - x}{e^{x} + \operatorname{sen} x - 1}}\textbf{. [1 punto]}$

Al sustituir se anulan numerador y denominador, así que aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-\cos x-x}{e^{x}+\operatorname{sen} x-1}=\dfrac{1-1-0}{1+0-1}=\dfrac{0}{0}$

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+\operatorname{sen} x-1}{e^{x}+\cos x}$

Ahora el denominador ya no se anula, así que basta sustituir:

$=\dfrac{1+0-1}{1+1}=\dfrac{0}{2}=0$

El valor del límite es $0$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} (\operatorname{sen} x + \cos x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

Las dos integrales son inmediatas, sin más que recordar el signo de la primitiva del seno.

$\int(\operatorname{sen} x+\cos x)\,dx=-\cos x+\operatorname{sen} x$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_{0}^{\pi/2}(\operatorname{sen} x+\cos x)\,dx=\left[-\cos x+\operatorname{sen} x\right]_{0}^{\pi/2}$

$=\left(-\cos\dfrac{\pi}{2}+\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(-\cos 0+\operatorname{sen} 0\right)=(0+1)-(-1+0)=2$

El valor de la integral es $2$.