Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Demuestre que la ecuación $x^{3} - 12x = -2$ tiene una solución en el intervalo $[-2,2]$ y pruebe además que esa solución es única. [2 puntos]

$\textbf{Demuestre que la ecuación } \boldsymbol{x^{3} - 12x = -2}\textbf{ tiene una solución en el intervalo } \boldsymbol{[-2,2]}\textbf{ y pruebe además que esa solución es única. [2 puntos]}$

Pasamos todo a un miembro para convertir la ecuación en la búsqueda de un cero.

$f(x)=x^{3}-12x+2$

La existencia se obtiene del teorema de Bolzano y la unicidad, de la monotonía.

Existencia. La función es polinómica, luego continua en $[-2,2]$, y evaluamos en los extremos:

$f(-2)=-8+24+2=18>0$

$f(2)=8-24+2=-14<0$

$f(-2)\cdot f(2)<0$

Por el teorema de Bolzano existe $c\in(-2,2)$ tal que $f(c)=0$, es decir, la ecuación tiene una solución en el intervalo.

Unicidad. Derivamos y estudiamos el signo dentro del intervalo:

$f'(x)=3x^{2}-12=3\left(x^{2}-4\right)$

Para $-2<x<2$ se cumple $x^{2}<4$, de modo que

$f'(x)=3\left(x^{2}-4\right)<0$

La derivada es negativa en todo el interior del intervalo, luego $f$ es estrictamente decreciente en $[-2,2]$ y, por tanto, inyectiva ahí: no puede tomar el valor $0$ dos veces.

Uniendo ambas conclusiones, la ecuación tiene exactamente una solución en $[-2,2]$.