Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Representar gráficamente la función $f(x) = xe^{x}$, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]

$\textbf{Representar gráficamente la función } \boldsymbol{f(x) = xe^{x}}\textbf{, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, definidos ambos en todo $\mathbb{R}$, de modo que su dominio es toda la recta real y corta a los ejes solo en el origen.

Monotonía y extremos. Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común la exponencial, que nunca se anula:

$f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$

$f'(x)=0 \Rightarrow 1+x=0 \Rightarrow x=-1$

El signo de la derivada es el de $1+x$: negativo antes de $-1$ y positivo después, así que la función decrece en $(-\infty,-1)$ y crece en $(-1,+\infty)$, con un mínimo relativo:

$f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}\approx -0{,}368 \Rightarrow \text{mínimo relativo }\left(-1,-\dfrac{1}{e}\right)$

Curvatura. Volvemos a derivar:

$f''(x)=e^{x}(1+x)+e^{x}=e^{x}(2+x)$

$f''(x)=0 \Rightarrow x=-2$

La segunda derivada es negativa antes de $-2$ y positiva después: la función es cóncava en $(-\infty,-2)$ y convexa en $(-2,+\infty)$, con un punto de inflexión en

$f(-2)=-\dfrac{2}{e^{2}}\approx -0{,}271 \Rightarrow \left(-2,-\dfrac{2}{e^{2}}\right)$

Asíntotas. No hay verticales, porque el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua.

$\lim_{x\to -\infty}xe^{x}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x}{e^{-x}}=\dfrac{-\infty}{+\infty}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0$

$\lim_{x\to +\infty}xe^{x}=+\infty$

Hay una asíntota horizontal $y=0$ por la izquierda y ninguna por la derecha, y tampoco oblicua, porque $\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$ no es finito.

Con todo lo anterior, la gráfica es