Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Se considera el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x - y + az = 0 \\ x - z = 0 \\ 2x + ay - 2z = 0 \end{cases}$

a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real $a$. [1,2 puntos]

b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro $a = -1$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,2 puntos]}$

El sistema es homogéneo, así que siempre tiene solución: la trivial $(0,0,0)$. Lo que decide si hay más es el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & a & -2 \end{pmatrix}$

$|A|=1\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ a & -2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}+a\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & a \end{vmatrix}$

$|A|=a+0+a^{2}=a^{2}+a=a(a+1)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=-1 \end{cases}$

Si $a\neq 0$ y $a\neq -1$, el determinante no se anula y

$\operatorname{ran}(A)=3=\text{número de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado: su única solución es la trivial.

Si $a=0$:

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Si $a=-1$:

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

En los dos casos $\operatorname{ran}(A)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

$\textbf{b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro } \boldsymbol{a = -1}\textbf{. [0,8 puntos]}$

$\begin{cases} x-y-z=0 \\ x-z=0 \\ 2x-y-2z=0 \end{cases}$

La segunda ecuación es la más sencilla y da directamente una relación:

$x=z$

Sustituyendo en la primera:

$z-y-z=0 \Rightarrow y=0$

Tomando $z=t$ como parámetro:

$\begin{cases} x=t \\ y=0 \\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que es la que no se ha usado: $2t-0-2t=0$.

Las soluciones para $a=-1$ son los infinitos puntos de la recta $(t,0,t)$.