Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x) = x - \cos(x)$.

a) Demostrar que la ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución en el intervalo $[0, \pi/2]$. [1 punto]

b) Probar que la ecuación $f(x) = 0$ solo puede tener una solución en el intervalo $[0, \pi/2]$, de modo que la solución del apartado anterior es la única. [1 punto]

$\textbf{a) Demostrar que la ecuación } \boldsymbol{f(x) = 0}\textbf{ tiene al menos una solución en el intervalo } \boldsymbol{[0, \pi/2]}\textbf{. [1 punto]}$

La existencia de la solución la da el teorema de Bolzano, cuyas dos hipótesis comprobamos.

La función $f(x)=x-\cos(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$, por ser diferencia de un polinomio y una función trigonométrica, y en particular lo es en $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

$f(0)=0-\cos 0=-1<0$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\cos\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}-0=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571>0$

$f(0)\cdot f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0$

Se cumplen las dos condiciones, así que existe al menos un $c\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ con $f(c)=0$.

$\textbf{b) Probar que la ecuación } \boldsymbol{f(x) = 0}\textbf{ solo puede tener una solución en el intervalo } \boldsymbol{[0, \pi/2]}\textbf{, de modo que la solución del apartado anterior es la única. [1 punto]}$

La unicidad se obtiene de la monotonía: una función estrictamente creciente no puede tomar el mismo valor dos veces.

$f'(x)=1+\operatorname{sen}(x)$

En el intervalo $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ el seno toma valores entre $0$ y $1$, de modo que

$f'(x)=1+\operatorname{sen}(x)\geq 1>0$

La derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo, luego $f$ es estrictamente creciente ahí y, por tanto, inyectiva: no puede anularse en dos puntos distintos.

Uniendo los dos apartados, la ecuación $x-\cos(x)=0$ tiene exactamente una solución en $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.