Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Estudiar la continuidad de la función definida por: [1 punto]

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-\cos x}{x}, & \text{si } x \neq 0, \\[2mm] 0, & \text{si } x = 0. \end{cases}$

b) Calcular $\displaystyle\int x\ln(x^{2})\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudiar la continuidad de la función definida por trozos. [1 punto]}$

Para $x\neq 0$ la función es un cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula, luego es continua. El único punto que hay que estudiar es $x=0$, donde se cambia de expresión.

La continuidad en ese punto exige que el límite coincida con el valor de la función:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{1}=\operatorname{sen} 0=0$

$\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$

El límite existe y vale lo mismo que la función, de modo que $f$ es continua en $x=0$ y, por tanto, continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int x\ln(x^{2})\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

Conviene simplificar el logaritmo antes de integrar, usando la propiedad de la potencia:

$\ln\left(x^{2}\right)=2\ln|x|$

$\int x\ln\left(x^{2}\right)dx=2\int x\ln|x|\,dx$

Integramos por partes tomando como $u$ el logaritmo, que se simplifica al derivar:

$\begin{cases} u=\ln|x| & du=\dfrac{1}{x}\,dx \\ dv=x\,dx & v=\dfrac{x^{2}}{2} \end{cases}$

$\int x\ln|x|\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln|x|-\int\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln|x|-\dfrac{x^{2}}{4}$

$\int x\ln\left(x^{2}\right)dx=x^{2}\ln|x|-\dfrac{x^{2}}{2}+C$

Se comprueba derivando: $2x\ln|x|+x-x=2x\ln|x|=x\ln\left(x^{2}\right)$.