Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular el valor de $m > 0$ para el cual se verifica que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(mx)}{x^{2}} = 2$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular el valor de } \boldsymbol{m > 0}\textbf{ para el cual se verifica que } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(mx)}{x^{2}} = 2}\textbf{. [2 puntos]}$

Calculamos primero el límite dejando $m$ como parámetro y después imponemos que valga $2$.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(mx)}{x^{2}}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, sin olvidar la regla de la cadena al derivar el coseno:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{m\operatorname{sen}(mx)}{2x}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, así que la aplicamos de nuevo:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{m^{2}\cos(mx)}{2}=\dfrac{m^{2}}{2}$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$\dfrac{m^{2}}{2}=2 \Rightarrow m^{2}=4 \Rightarrow m=\pm 2$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado exige $m>0$.

El valor pedido es $m=2$.