Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Dada la función $f(x) = x^{5} - 5x - 1$, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x) = x^{5} - 5x - 1}\textbf{, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. [2 puntos]}$

La función es polinómica, de modo que está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$.

Monotonía. Derivamos y factorizamos:

$f'(x)=5x^{4}-5=5\left(x^{4}-1\right)=5\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^{2}-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$

El factor $x^{2}+1$ es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $x^{2}-1$: positivo fuera del intervalo $[-1,1]$ y negativo dentro.



La función crece en $(-\infty,-1)$, decrece en $(-1,1)$ y vuelve a crecer en $(1,+\infty)$. En $x=-1$ pasa de crecer a decrecer y en $x=1$ de decrecer a crecer:

$f(-1)=-1+5-1=3 \Rightarrow \text{máximo relativo }(-1,3)$

$f(1)=1-5-1=-5 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(1,-5)$

Curvatura. Volvemos a derivar:

$f''(x)=20x^{3}$

$f''(x)=0 \Rightarrow x=0$

El signo de $20x^{3}$ es el de $x$: negativo antes de $0$ y positivo después. La función es cóncava en $(-\infty,0)$ y convexa en $(0,+\infty)$.

Como la segunda derivada cambia de signo, hay un punto de inflexión:

$f(0)=-1 \Rightarrow \text{punto de inflexión }(0,-1)$