Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: [1,2 puntos]

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}$

b) Resolverlo para $\lambda = 1$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Discutir según los valores del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema de ecuaciones lineales siguiente. [1,2 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 2 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 & 1 \\ 2 & 0 & \lambda & 1 \end{array}\right)$

$|A|=1\begin{vmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & -\lambda \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$

$|A|=-\lambda^{2}-\lambda+2\lambda=-\lambda^{2}+\lambda=\lambda(1-\lambda)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases} \lambda=0 \\ \lambda=1 \end{cases}$

Si $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1$, el determinante no se anula y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda=0$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Las filas segunda y tercera de $A$ son proporcionales —la tercera es el doble de la segunda—, pero los términos independientes no lo son: $2\cdot 1=2\neq 1$. La segunda y la tercera ecuación se contradicen.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=0+2+0-0-0-1=1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

Para $\lambda=1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$

y ahora la tercera fila es la suma de las dos primeras, también en el término independiente, de modo que la tercera ecuación sobra.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

$\textbf{b) Resolverlo para } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Prescindimos de la tercera ecuación, que es consecuencia de las otras dos.

$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x-y=1 \end{cases}$

De la segunda ecuación despejamos $x$ en función de $y$:

$x=1+y$

y sustituyendo en la primera:

$(1+y)+y+z=0 \Rightarrow z=-1-2y$

Tomando $y=t$ como parámetro:

$\begin{cases} x=1+t \\ y=t \\ z=-1-2t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación: $2(1+t)+(-1-2t)=2+2t-1-2t=1$.

Las soluciones para $\lambda=1$ son los infinitos puntos de la recta $(1+t,\,t,\,-1-2t)$.