Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

El tiempo empleado, en minutos, para obtener la respuesta de un test para detectar cierta enfermedad sigue una distribución normal de media 20 y de desviación típica 4.

a) ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos? [1 punto]

b) ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del $96{,}41$ % de los test? [1 punto]

Llamamos $X$ al tiempo, en minutos, que tarda en obtenerse la respuesta de un test. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(20;\ 4)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z=\dfrac{X-20}{4}\sim N(0,1)$.

$\textbf{a) ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos? [1 punto]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo:

$P(16<X<26)=P\left(\dfrac{16-20}{4}<Z<\dfrac{26-20}{4}\right)=P(-1<Z<1{,}5)$

$P(-1<Z<1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)$

El valor negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

$P(16<X<26)=0{,}9332-0{,}1587=0{,}7745$



En el $77{,}45\%$ de los test el resultado se obtiene entre 16 y 26 minutos.

$\textbf{b) ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del } \boldsymbol{96{,}41}\textbf{ \% de los test? [1 punto]}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita, el tiempo: hay que recorrer la tabla al revés. Llamamos $k$ al tiempo buscado.

$P(X<k)=0{,}9641 \Rightarrow P\left(Z<\dfrac{k-20}{4}\right)=0{,}9641$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $0{,}9641$ y leemos el valor tipificado que le corresponde:

$\Phi(1{,}80)=0{,}9641 \Rightarrow \dfrac{k-20}{4}=1{,}80$

$k=20+1{,}80\cdot 4=20+7{,}2=27{,}2$



Hacen falta $27{,}2$ minutos para garantizar que se ha obtenido la respuesta del $96{,}41\%$ de los test.