Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Hallar los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales el polinomio $P(x) = ax^{2} + bx + c$ cumple las siguientes condiciones: [2 puntos]

$P(0) = 1$.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $P(x)$ en $x = 0$ es $m = 1$.

$\displaystyle\int_{0}^{2} P(x)\,dx = 12$.

$\textbf{Hallar los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para los cuales el polinomio } \boldsymbol{P(x) = ax^{2} + bx + c}\textbf{ cumple las tres condiciones. [2 puntos]}$

Cada condición da una ecuación, y conviene tomarlas en el orden en que van despejando incógnitas.

La primera dice que la gráfica pasa por el punto $(0,1)$, y al sustituir $x=0$ desaparecen los dos primeros términos:

$P(0)=c=1$

La segunda habla de la pendiente de la tangente, que es el valor de la derivada:

$P'(x)=2ax+b \Rightarrow P'(0)=b=1$

La tercera es una integral definida, que calculamos con los valores ya obtenidos:

$\int_{0}^{2}P(x)\,dx=\left[\dfrac{ax^{3}}{3}+\dfrac{bx^{2}}{2}+cx\right]_{0}^{2}=\dfrac{8a}{3}+2b+2c$

$\dfrac{8a}{3}+2\cdot 1+2\cdot 1=12 \Rightarrow \dfrac{8a}{3}=8 \Rightarrow a=3$

Los valores pedidos son $a=3$, $b=1$ y $c=1$, es decir, $P(x)=3x^{2}+x+1$, y se comprueba que su integral entre $0$ y $2$ vale $8+2+2=12$.