Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

a) Dadas las funciones $f(x) = x^{2}$, $g(x) = -x^{2} + 8$, hallar los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que $g(x) \geq f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Dadas las funciones } \boldsymbol{f(x) = x^{2}}\textbf{, } \boldsymbol{g(x) = -x^{2} + 8}\textbf{, hallar los valores de } \boldsymbol{x \in \mathbb{R}}\textbf{ para los que } \boldsymbol{g(x) \geq f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Pasamos todo a un miembro y resolvemos la inecuación resultante.

$-x^{2}+8\geq x^{2} \Rightarrow 8\geq 2x^{2} \Rightarrow x^{2}\leq 4$

$|x|\leq 2 \Rightarrow -2\leq x\leq 2$

La parábola $g$ va por encima de $f$ exactamente en el intervalo $[-2,2]$, y las dos se cortan en sus extremos, $x=-2$ y $x=2$.

$\textbf{b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El recinto está limitado por los dos puntos de corte, y por el apartado anterior sabemos cuál de las dos curvas queda arriba, así que el área es la integral de la diferencia sin necesidad de partirla.



$\mathcal{A}=\int_{-2}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]dx=\int_{-2}^{2}\left(8-2x^{2}\right)dx$

$=\left[8x-\dfrac{2x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(16-\dfrac{16}{3}\right)-\left(-16+\dfrac{16}{3}\right)$

$=32-\dfrac{32}{3}=\dfrac{64}{3}\approx 21{,}33$

El área del recinto es de $\dfrac{64}{3}\approx 21{,}33$ unidades de área.