Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}}\textbf{. [2 puntos]}$

Sustituyendo aparece una indeterminación, ya que numerador y denominador se anulan a la vez.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-x-\cos(3x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\dfrac{1-0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Antes de derivar conviene simplificar el denominador con el infinitésimo equivalente $\operatorname{sen}(x)\sim x$ cuando $x\to 0$, lo que evita que las derivadas se compliquen:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-x-\cos(3x)}{x^{2}}$

Aplicamos ahora la regla de L'Hôpital:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1+3\operatorname{sen}(3x)}{2x}=\dfrac{1-1+0}{0}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, así que la aplicamos una segunda vez:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+9\cos(3x)}{2}=\dfrac{1+9}{2}=5$

El valor del límite es $5$.