Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Representar la función $f(x) = e^{(x^{2})}$, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]

$\textbf{Representar la función } \boldsymbol{f(x) = e^{(x^{2})}}\textbf{, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]}$

La función es una exponencial cuyo exponente es un polinomio, de modo que está definida en todo $\mathbb{R}$ y, además, es siempre positiva.

$\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\qquad f(x)=e^{x^{2}}>0$

Monotonía. Derivamos con la regla de la cadena:

$f'(x)=2xe^{x^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

Como la exponencial es siempre positiva, el signo de $f'(x)$ es el de $x$: la función decrece en $(-\infty,0)$ y crece en $(0,+\infty)$, con un mínimo relativo:

$f(0)=e^{0}=1 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(0,1)$

Curvatura. Volvemos a derivar, ahora con la regla del producto:

$f''(x)=2e^{x^{2}}+2x\cdot 2xe^{x^{2}}=2e^{x^{2}}\left(1+2x^{2}\right)$

Los dos factores son estrictamente positivos, luego $f''(x)>0$ en todo $\mathbb{R}$: la función es convexa en toda la recta real y no tiene puntos de inflexión.

Asíntotas. No hay verticales, porque el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua. En el infinito el exponente tiende a $+\infty$ en las dos ramas:

$\lim_{x\to\pm\infty}e^{x^{2}}=+\infty$

de modo que no hay asíntotas horizontales; y tampoco oblicuas, porque

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x^{2}}}{x}=+\infty$

no es un número finito.

Con todo lo anterior, y teniendo en cuenta que la función es par —$f(-x)=f(x)$—, la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas y tiene esta forma: