Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dados la recta $r \equiv \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z}{-2}$ y el punto $P = (0,0,0)$, hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y pasa por el punto $P$. [2 puntos]

$\textbf{Dados la recta } \boldsymbol{r \equiv \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z}{-2}}\textbf{ y el punto } \boldsymbol{P = (0,0,0)}\textbf{, hallar la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{ y pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{. [2 puntos]}$

El plano queda determinado por un punto de la recta, la dirección de la recta y la dirección que va de ese punto a $P$. De la ecuación continua leemos lo primero:

$A(-1,2,0)\qquad \vec v_r=(-1,1,-2)$

Comprobamos que $P$ no está en la recta, o el plano no quedaría determinado. Sustituyendo el origen en la ecuación continua:

$\dfrac{0+1}{-1}=-1 \qquad \dfrac{0-2}{1}=-2$

Las razones no coinciden, luego $P\notin r$.

$\overrightarrow{AP}=(0,0,0)-(-1,2,0)=(1,-2,0)$

El vector normal del plano es el producto vectorial de las dos direcciones:

$\vec n=\vec v_r\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=(-4,\,-2,\,1)$

Cambiando el signo, $\vec n=(4,2,-1)$, y como el plano pasa por el origen el término independiente es nulo:

$\pi\equiv 4x+2y-z=0$

Comprobamos las dos condiciones: pasa por $A(-1,2,0)$, ya que $-4+4-0=0$, y contiene la dirección de la recta, porque $(4,2,-1)\cdot(-1,1,-2)=-4+2+2=0$.

El plano pedido es $\pi\equiv 4x+2y-z=0$.