Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

a) Hallar la recta perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + z = 1$ que pasa por el punto $A = (0,0,0)$. [0,8 puntos]

b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos $P = (1,1,1)$ y $Q = (1,3,-1)$ son simétricos. [1,2 puntos]

$\textbf{a) Hallar la recta perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi \equiv x + y + z = 1}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{A = (0,0,0)}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección del vector normal de este, que se lee de los coeficientes de la ecuación.

$\vec n_{\pi}=(1,1,1)$

Con ese director y el origen como punto:

$r\equiv\begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

es decir, $r\equiv x=y=z$.

$\textbf{b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos } \boldsymbol{P = (1,1,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q = (1,3,-1)}\textbf{ son simétricos. [1,2 puntos]}$

Dos puntos son simétricos respecto de un plano cuando este es su plano mediador: pasa por el punto medio del segmento que los une y es perpendicular a él. Esas dos condiciones lo determinan por completo.



El segmento da la dirección normal del plano:

$\overrightarrow{PQ}=(1,3,-1)-(1,1,1)=(0,2,-2)$

que podemos simplificar a $\vec n=(0,1,-1)$.

El punto medio es

$M=\left(\dfrac{1+1}{2},\dfrac{1+3}{2},\dfrac{1-1}{2}\right)=(1,2,0)$

$\sigma\equiv y-z+D=0$

Imponemos que pase por $M$:

$2-0+D=0 \Rightarrow D=-2$

$\sigma\equiv y-z-2=0$

Comprobamos que los dos puntos equidistan del plano, como debe ocurrir:

$d(P,\sigma)=\dfrac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \qquad d(Q,\sigma)=\dfrac{|3+1-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

El plano pedido es $\sigma\equiv y-z-2=0$.