Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: [1,2 puntos]

$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \\ x + y + \lambda z = 0 \end{cases}$

b) Resolverlo para $\lambda = -1$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Discutir según los valores del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema de ecuaciones lineales siguiente. [1,2 puntos]}$

El sistema es homogéneo, de modo que siempre es compatible: la solución trivial lo cumple. Lo que decide el número de soluciones es el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$

$|A|=1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=(\lambda+1)+(2\lambda+1)+1=3\lambda+3=3(\lambda+1)$

$|A|=0\Rightarrow \lambda=-1$

Si $\lambda\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=3=\text{número de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial $x=y=z=0$.

Si $\lambda=-1$:

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\operatorname{ran}(A)=2<3 \Rightarrow$ el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: además de la trivial tiene infinitas soluciones.

$\textbf{b) Resolverlo para } \boldsymbol{\lambda = -1}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Por el apartado anterior el rango es $2$, así que trabajamos con dos ecuaciones independientes, por ejemplo las dos primeras.

$\begin{cases} x-y+z=0 \\ 2x+y-z=0 \end{cases}$

Sumándolas desaparecen $y$ y $z$ a la vez:

$3x=0 \Rightarrow x=0$

y la primera ecuación queda $-y+z=0$, es decir, $z=y$. Tomando $y=t$ como parámetro:

$\begin{cases} x=0 \\ y=t \\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que es la que no se ha usado: $0+t-t=0$.

Las soluciones son los infinitos puntos de la recta $(0,t,t)$.