Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

La variable agudeza visual de una población se ajusta a una distribución normal de media 2 cpg (ciclos por segundo) y desviación típica 1 cpg. A los individuos con una agudeza visual inferior a $1{,}1$ cpg se les considera con «problemas visuales graves».

a) ¿Qué porcentaje de la población tiene «problemas visuales graves»? [1 punto]

b) ¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre 2 y $2{,}9$ cpg? [1 punto]

Llamamos $X$ a la agudeza visual, en ciclos por segundo, de un individuo tomado al azar. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(2;\ 1)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z=\dfrac{X-2}{1}=X-2\sim N(0,1)$.

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de la población tiene «problemas visuales graves»? [1 punto]}$

Tener problemas visuales graves es, según el enunciado, tener una agudeza inferior a $1{,}1$ cpg.

$P(X<1{,}1)=P\left(Z<\dfrac{1{,}1-2}{1}\right)=P(Z<-0{,}9)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que aprovechamos la simetría de la campana:

$P(Z<-0{,}9)=1-\Phi(0{,}9)=1-0{,}8159=0{,}1841$



El $18{,}41\%$ de la población tiene problemas visuales graves.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre 2 y } \boldsymbol{2{,}9}\textbf{ cpg? [1 punto]}$

El extremo inferior del intervalo es la propia media, cuyo valor tipificado es cero.

$P(2<X<2{,}9)=P(0<Z<0{,}9)=\Phi(0{,}9)-\Phi(0)$

Como la campana es simétrica respecto de la media, $\Phi(0)=0{,}5$:

$P(2<X<2{,}9)=0{,}8159-0{,}5=0{,}3159$



El $31{,}59\%$ de la población tiene una agudeza visual entre $2$ y $2{,}9$ cpg.