Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Estudie el signo de la función $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3x$ en el intervalo $[0,2]$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3x$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie el signo de la función } \boldsymbol{f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3x}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{[0,2]}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Factorizamos la función para localizar sus ceros, que son los únicos puntos donde puede cambiar de signo.

$f(x)=x\left(x^{2}-4x+3\right)=x(x-1)(x-3)$

$f(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=1 \\ x=3 \end{cases}$

Dentro de $[0,2]$ solo hay un cero interior, $x=1$, que parte el intervalo en dos tramos. Evaluamos el signo en un punto de cada uno:

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5}{8}>0$

$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{9}{8}<0$

La función es positiva en $(0,1)$ y negativa en $(1,2)$.

$\textbf{b) Calcule el área limitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3x}\textbf{ y el eje de abscisas en el intervalo } \boldsymbol{[0,2]}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Como la función cambia de signo en $x=1$, hay que partir la integral en ese punto y sumar los valores absolutos de los dos trozos; si se integrara de una vez, las dos partes se restarían.



Calculamos una primitiva común a los dos tramos:

$F(x)=\int\left(x^{3}-4x^{2}+3x\right)dx=\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{4x^{3}}{3}+\dfrac{3x^{2}}{2}$

$F(0)=0 \qquad F(1)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3-16+18}{12}=\dfrac{5}{12}$

$F(2)=4-\dfrac{32}{3}+6=\dfrac{30-32}{3}=-\dfrac{2}{3}$

$\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\dfrac{5}{12} \qquad \int_{1}^{2}f(x)\,dx=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{12}=-\dfrac{13}{12}$

$\mathcal{A}=\left|\dfrac{5}{12}\right|+\left|-\dfrac{13}{12}\right|=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$

El área pedida es de $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ unidades de área.