Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Enuncie el Teorema de Bolzano. [1 punto]

b) Averigüe si la función $f(x) = x + \operatorname{sen} x - 2$ se anula en algún punto del intervalo $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$. [1 punto]

$\textbf{a) Enuncie el Teorema de Bolzano. [1 punto]}$

Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y toma valores de signo contrario en sus extremos, es decir, si $f(a)\cdot f(b)<0$, entonces existe al menos un punto $c\in(a,b)$ en el que la función se anula:

$f\ \text{continua en } [a,b],\quad f(a)\cdot f(b)<0 \Rightarrow \exists\,c\in(a,b):\ f(c)=0$

El teorema garantiza la existencia del punto, pero no dice cuántos hay ni dónde está exactamente. Es consecuencia de que una función continua no puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor cero.

$\textbf{b) Averigüe si la función } \boldsymbol{f(x) = x + \operatorname{sen} x - 2}\textbf{ se anula en algún punto del intervalo } \boldsymbol{\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]}\textbf{. [1 punto]}$

Comprobamos las dos hipótesis del teorema. La función es continua en todo $\mathbb{R}$, y en particular en $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$, por ser suma de un polinomio, una función trigonométrica y una constante.

$f(0)=0+\operatorname{sen} 0-2=-2<0$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}+1-2=\dfrac{\pi}{2}-1\approx 0{,}571>0$

$f(0)\cdot f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0$

Se cumplen las dos condiciones, de modo que el teorema de Bolzano asegura que existe $c\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ con $f(c)=0$: la función sí se anula en el interior del intervalo.

Podemos añadir que ese punto es único, ya que

$f'(x)=1+\cos x>0\quad \text{en } \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$

y la función es, por tanto, estrictamente creciente ahí.