Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^{2}}{2-x}$, se pide:

a) Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene. [1 punto]

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene. [1 punto]

$\textbf{a) Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene. [1 punto]}$

Se trata de una función racional, de modo que el dominio lo limita únicamente el denominador.

$2-x=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$

Asíntota vertical. En $x=2$ el numerador vale $4\neq 0$ y el denominador se anula cambiando de signo:

$\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{x^{2}}{2-x}=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty \qquad \lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{x^{2}}{2-x}=\dfrac{4}{0^{-}}=-\infty$

luego $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. El grado del numerador supera al del denominador, así que no la hay:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}}{2-x}=-\infty \qquad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}}{2-x}=+\infty$

Asíntota oblicua. Como el numerador tiene exactamente un grado más que el denominador, sí existe, de la forma $y=mx+n$:

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}}{x(2-x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{2-x}=-1$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x^{2}}{2-x}+x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2x-x^{2}}{2-x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{2-x}=-2$

La asíntota oblicua es $y=-x-2$, la misma en las dos ramas.

$\textbf{b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene. [1 punto]}$

Derivamos con la regla del cociente y simplificamos el numerador:

$f'(x)=\dfrac{2x(2-x)-x^{2}\cdot(-1)}{(2-x)^{2}}=\dfrac{4x-2x^{2}+x^{2}}{(2-x)^{2}}=\dfrac{x(4-x)}{(2-x)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=4 \end{cases}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador, una parábola con las ramas hacia abajo. Al estudio hay que añadirle el punto $x=2$, que no pertenece al dominio.



La función decrece en $(-\infty,0)$, crece en $(0,2)$ y en $(2,4)$, y vuelve a decrecer en $(4,+\infty)$.

$f(0)=0 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(0,0)$

$f(4)=\dfrac{16}{2-4}=-8 \Rightarrow \text{máximo relativo }(4,-8)$

Obsérvese que el valor del máximo es menor que el del mínimo: no hay contradicción, porque la asíntota vertical $x=2$ separa las dos ramas y cada extremo lo es solo dentro de la suya.