Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano $\alpha \equiv x - y = 0$, es paralela al plano $\beta \equiv 2x - 3y + z = 4$ y pasa por el punto $P = (1,1,3)$. [1 punto]

b) Hállese la ecuación del plano que es paralelo a $r \equiv x - 1 = y + 2 = \dfrac{z-1}{2}$ y pasa por los puntos $A = (0,3,1)$ y $B = (-2,1,-1)$. [1 punto]

$\textbf{a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano } \boldsymbol{\alpha \equiv x - y = 0}\textbf{, es paralela al plano } \boldsymbol{\beta \equiv 2x - 3y + z = 4}\textbf{ y pasa por el punto } \boldsymbol{P = (1,1,3)}\textbf{. [1 punto]}$

Estar contenida en $\alpha$ y ser paralela a $\beta$ obliga, en los dos casos, a que el director sea perpendicular al vector normal correspondiente. Un vector con esa doble propiedad es el producto vectorial de las dos normales.

$\vec n_{\alpha}=(1,-1,0)\qquad \vec n_{\beta}=(2,-3,1)$

$\vec v=\vec n_{\alpha}\times\vec n_{\beta}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}=(-1,\,-1,\,-1)$

Cambiando el signo tomamos $\vec v=(1,1,1)$. Comprobamos antes que $P$ pertenece a $\alpha$, como exige el enunciado: $1-1=0$.

$r\equiv\begin{cases} x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=3+\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Se comprueba que está en $\alpha$, porque $x-y=(1+\lambda)-(1+\lambda)=0$, y que es paralela a $\beta$ sin estar contenida en él, porque $(1,1,1)\cdot(2,-3,1)=0$ y sin embargo $2-3+3=2\neq 4$.

$\textbf{b) Hállese la ecuación del plano que es paralelo a } \boldsymbol{r \equiv x - 1 = y + 2 = \dfrac{z-1}{2}}\textbf{ y pasa por los puntos } \boldsymbol{A = (0,3,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{B = (-2,1,-1)}\textbf{. [1 punto]}$

El plano contiene la dirección $\overrightarrow{AB}$ y, por ser paralelo a la recta, también la de su vector director.

$\overrightarrow{AB}=(-2,1,-1)-(0,3,1)=(-2,-2,-2)$

Podemos simplificarlo a $(1,1,1)$, que lleva la misma dirección.

$\vec v_r=(1,1,2)$

$\vec n=(1,1,1)\times(1,1,2)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=(1,\,-1,\,0)$

$\pi\equiv x-y+D=0$

Imponemos que pase por $A(0,3,1)$:

$0-3+D=0 \Rightarrow D=3$

$\pi\equiv x-y+3=0$



Se comprueba que pasa por $B$, ya que $-2-1+3=0$, y que el paralelismo con $r$ es estricto: $(1,-1,0)\cdot(1,1,2)=0$, pero el punto $(1,-2,1)$ de la recta da $1+2+3=6\neq 0$, luego $r$ no está contenida en el plano.