Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

a) Calcule el plano que pasa por el punto $(1,0,1)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u} = (1,1,1)$ y $\vec{v} = (1,2,3)$. [1,5 puntos]

b) Calcule el plano paralelo a $3x + 2y + 2z + 1 = 0$ que pasa por el punto $(1,2,3)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el plano que pasa por el punto } \boldsymbol{(1,0,1)}\textbf{ y es paralelo a los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (1,1,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (1,2,3)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Que el plano sea paralelo a los dos vectores significa que los contiene como direcciones, así que su vector normal es el producto vectorial de ambos. Los dos vectores no son proporcionales, luego el plano queda determinado.

$\vec n=\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=(1,\,-2,\,1)$

$\pi\equiv x-2y+z+D=0$

Imponemos que pase por el punto dado:

$1-0+1+D=0 \Rightarrow D=-2$

$\pi\equiv x-2y+z-2=0$

Se comprueba que las dos direcciones son ortogonales a la normal: $(1,-2,1)\cdot(1,1,1)=0$ y $(1,-2,1)\cdot(1,2,3)=1-4+3=0$.

$\textbf{b) Calcule el plano paralelo a } \boldsymbol{3x + 2y + 2z + 1 = 0}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{(1,2,3)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Dos planos paralelos tienen el mismo vector normal y solo se diferencian en el término independiente, así que basta imponer que el nuevo pase por el punto.

$\sigma\equiv 3x+2y+2z+D=0$

$3\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3+D=0 \Rightarrow 3+4+6+D=0 \Rightarrow D=-13$

$\sigma\equiv 3x+2y+2z-13=0$

Como $D=-13\neq 1$, el plano obtenido es distinto del de partida, es decir, paralelo en sentido estricto.