Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discuta según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales: [1,2 puntos]

$\begin{cases} x + y + mz = 4 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$

b) Resuélvalo para $m = 2$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Discuta según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ el sistema de ecuaciones lineales. [1,2 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)$

$|A|=1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+m\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}$

$|A|=(-1+4)-(2-2)+m(-4+1)=3-3m$

$3-3m=0 \Rightarrow m=1$

Si $m\neq 1$, el determinante no se anula y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Para $m=1$ estudiamos los dos rangos por separado.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=0+3-16+4+6-0=-3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $m\neq 1$ e incompatible si $m=1$. No hay ningún valor que lo haga indeterminado.

$\textbf{b) Resuélvalo para } \boldsymbol{m = 2}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Con $m=2$ se tiene $|A|=3-6=-3\neq 0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases} x+y+2z=4 \\ 2x-y+2z=3 \\ x-2y+z=0 \end{cases}$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}}{-3}=\dfrac{-3}{-3}=1$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-3}=\dfrac{-3}{-3}=1$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{-3}=\dfrac{-3}{-3}=1$

Comprobamos en la tercera ecuación: $1-2+1=0$.

La solución, única, es $x=y=z=1$.