Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de $f(x) = x^{3} - 4x$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. [1 punto]

b) Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x\operatorname{sen} x}{2 - 2\cos x}$ [1 punto]

$\textbf{a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de } \boldsymbol{f(x) = x^{3} - 4x}\textbf{, el eje OX y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de integrar hay que saber si la curva corta al eje dentro del intervalo y de qué lado queda, porque el área es siempre positiva y la integral no tiene por qué serlo.

$x^{3}-4x=0 \Rightarrow x\left(x^{2}-4\right)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \\ x=-2 \end{cases}$

Los cortes con el eje son justamente los extremos del intervalo, así que la función mantiene el signo dentro de él. Lo determinamos con un punto intermedio:

$f(1)=1-4=-3<0$

El recinto queda entero por debajo del eje.



$\int_{0}^{2}\left(x^{3}-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{0}^{2}=(4-8)-0=-4$

$\mathcal{A}=\left|-4\right|=4$

El área del recinto es de $4$ unidades de área.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x\operatorname{sen} x}{2 - 2\cos x}}\textbf{. [1 punto]}$

Al sustituir aparece una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$, ya que $\operatorname{sen} 0=0$ y $\cos 0=1$.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\operatorname{sen} x}{2-2\cos x}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x+x\cos x}{2\operatorname{sen} x}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla una segunda vez:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x+\cos x-x\operatorname{sen} x}{2\cos x}=\dfrac{1+1-0}{2}=1$

El valor del límite es $1$.