Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Dadas las curvas de ecuaciones $y = \sqrt{3x}$, $y = \dfrac{1}{3}x^{2}$:

a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. [1 punto]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1 punto]

$\textbf{a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. [1 punto]}$

La primera curva, $y=\sqrt{3x}$, es media parábola tumbada: solo existe para $x\geq 0$, arranca en el origen y crece cada vez más despacio. La segunda, $y=\dfrac{1}{3}x^{2}$, es una parábola de vértice el origen y ramas hacia arriba.

Los extremos del recinto son sus puntos de corte, que obtenemos igualando las dos ecuaciones y elevando al cuadrado:

$\sqrt{3x}=\dfrac{x^{2}}{3} \Rightarrow 3x=\dfrac{x^{4}}{9} \Rightarrow 27x=x^{4}$

$x^{4}-27x=0 \Rightarrow x\left(x^{3}-27\right)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=3 \end{cases}$

Las dos soluciones son válidas, ya que ambas cumplen $x\geq 0$, y los puntos de corte son $(0,0)$ y $(3,3)$.

Entre ambas abscisas la raíz va por encima de la parábola, como se comprueba en un punto intermedio:

$\text{Si } x=1:\quad \sqrt{3}\approx 1{,}73>\dfrac{1}{3}$



$\textbf{b) Calcule el área de dicho recinto. [1 punto]}$

El área es la integral, entre las abscisas de corte, de la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{3}\left(\sqrt{3x}-\dfrac{x^{2}}{3}\right)dx=\sqrt{3}\int_{0}^{3}x^{1/2}dx-\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3}x^{2}dx$

$=\sqrt{3}\left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{3}-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}$

$=\sqrt{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}-\dfrac{1}{3}\cdot 9=6-3=3$

El área del recinto es de $3$ unidades de área.