Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule:

a) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - x - 1}{x^{2}}$ [1 punto]

b) $\displaystyle\int_{0}^{1} xe^{x}\,dx$ [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - x - 1}{x^{2}}}\textbf{. [1 punto]}$

Al sustituir se anulan numerador y denominador, así que aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-x-1}{x^{2}}=\dfrac{1-0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{2x}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, de modo que volvemos a derivar arriba y abajo:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}}{2}=\dfrac{1}{2}$

El valor del límite es $\dfrac{1}{2}$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{1} xe^{x}\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

El integrando es un polinomio por una exponencial, caso típico de integración por partes tomando como $u$ el polinomio, que baja de grado al derivar.

$\begin{cases} u=x & du=dx \\ dv=e^{x}dx & v=e^{x} \end{cases}$

$\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1)$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_{0}^{1}xe^{x}dx=\left[e^{x}(x-1)\right]_{0}^{1}=e\cdot 0-1\cdot(-1)=1$

El valor de la integral es $1$.