Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x) = xe^{x}$, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica. [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x) = xe^{x}}\textbf{, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica. [2 puntos]}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, definidos ambos en todo $\mathbb{R}$.

$\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}$

Asíntotas. Al ser el dominio todo $\mathbb{R}$ y la función continua, no hay verticales. En el infinito:

$\lim_{x\to -\infty}xe^{x}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x}{e^{-x}}=\dfrac{-\infty}{+\infty}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0$

$\lim_{x\to +\infty}xe^{x}=+\infty$

Hay, pues, una asíntota horizontal $y=0$ por la izquierda, y ninguna por la derecha; tampoco oblicua, porque $\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$ no es finito.

Monotonía. Derivamos y sacamos factor común la exponencial, que es siempre positiva:

$f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1$

El signo de $f'(x)$ es el de $1+x$: negativo antes de $-1$ y positivo después. La función decrece en $(-\infty,-1)$ y crece en $(-1,+\infty)$, con un mínimo relativo:

$f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}\approx -0{,}368 \Rightarrow \text{mínimo relativo }\left(-1,-\dfrac{1}{e}\right)$

Curvatura. Volvemos a derivar:

$f''(x)=e^{x}(1+x)+e^{x}=e^{x}(2+x)$

$f''(x)=0 \Rightarrow x=-2$

La segunda derivada es negativa antes de $-2$ y positiva después: la función es cóncava en $(-\infty,-2)$ y convexa en $(-2,+\infty)$, con un punto de inflexión en

$f(-2)=-2e^{-2}=-\dfrac{2}{e^{2}}\approx -0{,}271 \Rightarrow \left(-2,-\dfrac{2}{e^{2}}\right)$

Con todo lo anterior, y sabiendo que la gráfica corta a los ejes solo en el origen, la representación es