Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere el punto $P = (2,2,1)$ y el plano $\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0$.

a) Halle la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. [1 punto]

b) Calcule la distancia del punto $Q = (2,2,-2)$ al plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la recta que pasa por } \boldsymbol{P}\textbf{ y es perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección del vector normal de este, que se lee directamente de los coeficientes de la ecuación.

$\vec n_{\pi}=(2,3,-3)$

Con ese director y el punto $P(2,2,1)$:

$r\equiv\begin{cases} x=2+2t \\ y=2+3t \\ z=1-3t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$



o, en forma continua, $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-1}{-3}$.

$\textbf{b) Calcule la distancia del punto } \boldsymbol{Q = (2,2,-2)}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, que sustituye las coordenadas del punto en la ecuación y divide por el módulo del vector normal.

$d(Q,\pi)=\dfrac{\left|2x_0+3y_0-3z_0+6\right|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-3)^{2}}}$

$d(Q,\pi)=\dfrac{|2\cdot 2+3\cdot 2-3\cdot(-2)+6|}{\sqrt{4+9+9}}=\dfrac{|4+6+6+6|}{\sqrt{22}}$

$d(Q,\pi)=\dfrac{22}{\sqrt{22}}=\sqrt{22}\approx 4{,}690\ \text{u}$

La distancia del punto $Q$ al plano es $\sqrt{22}\approx 4{,}690$ unidades.