Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema $\begin{cases} 2x + 2my - z = 0 \\ x + 2y + mz = 0 \\ x - my + mz = 0 \end{cases}$

a) Discuta el sistema según los distintos valores de $m$. [1 punto]

b) Resuelva el sistema si $m = -2$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los distintos valores de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1 punto]}$

El sistema es homogéneo, luego siempre es compatible: la solución trivial $(0,0,0)$ lo cumple. Lo que hay que decidir es si es la única, y eso lo dice el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix} 2 & 2m & -1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & -m & m \end{pmatrix}$

$|A|=2\begin{vmatrix} 2 & m \\ -m & m \end{vmatrix}-2m\begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & m \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -m \end{vmatrix}$

$|A|=2\left(2m+m^{2}\right)-2m\cdot 0-(-m-2)=2m^{2}+5m+2$

$2m^{2}+5m+2=0 \Rightarrow m=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\dfrac{-5\pm 3}{4} \Rightarrow \begin{cases} m=-\dfrac{1}{2} \\ m=-2 \end{cases}$

Si $m\neq -2$ y $m\neq -\dfrac{1}{2}$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=3=\text{número de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial.

Si $m=-2$:

$A=\begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=8\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Si $m=-\dfrac{1}{2}$:

$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -\dfrac{1}{2} \\ 1 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=5\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

En los dos casos $\operatorname{ran}(A)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: además de la trivial tiene infinitas soluciones.

$\textbf{b) Resuelva el sistema si } \boldsymbol{m = -2}\textbf{. [1 punto]}$

$\begin{cases} 2x-4y-z=0 \\ x+2y-2z=0 \\ x+2y-2z=0 \end{cases}$

La tercera ecuación es la segunda repetida, así que trabajamos solo con las dos primeras y tomamos $z$ como parámetro.

De la segunda ecuación:

$x=-2y+2z$

Sustituyendo en la primera:

$2(-2y+2z)-4y-z=0 \Rightarrow -8y+3z=0 \Rightarrow y=\dfrac{3z}{8}$

Para evitar denominadores tomamos $z=8\lambda$, con lo que $y=3\lambda$ y

$x=-6\lambda+16\lambda=10\lambda$

$\begin{cases} x=10\lambda \\ y=3\lambda \\ z=8\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la primera ecuación: $20\lambda-12\lambda-8\lambda=0$.

Las soluciones para $m=-2$ son los infinitos puntos de la recta $(10\lambda,\,3\lambda,\,8\lambda)$.