Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Dadas las funciones $f(x) = -x^{2}$ y $g(x) = x^{3}$:

a) Comprobar que las gráficas de dichas funciones en $[-1,0]$ sólo se cortan para $x = -1$ y $x = 0$. Demostrar que en $[-1,0]$ se cumple $g(x) \geq f(x)$. [1 punto]

b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones. [1 punto]

$\textbf{a) Comprobar que las gráficas de dichas funciones en } \boldsymbol{[-1,0]}\textbf{ sólo se cortan para } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. Demostrar que en } \boldsymbol{[-1,0]}\textbf{ se cumple } \boldsymbol{g(x) \geq f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Los puntos de corte son las soluciones de la ecuación que resulta de igualar las dos funciones.

$g(x)=f(x) \Rightarrow x^{3}=-x^{2} \Rightarrow x^{3}+x^{2}=0$

$x^{2}(x+1)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-1 \end{cases}$

La ecuación no tiene más raíces, luego en $[-1,0]$ —y de hecho en todo $\mathbb{R}$— las gráficas solo se cortan en esos dos puntos.

Para comparar las dos funciones estudiamos el signo de su diferencia, ya factorizada:

$g(x)-f(x)=x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1)$

En el intervalo $[-1,0]$ se cumple $x^{2}\geq 0$, por ser un cuadrado, y $x+1\geq 0$, por ser $x\geq -1$. El producto de dos cantidades no negativas es no negativo:

$g(x)-f(x)\geq 0 \Rightarrow g(x)\geq f(x)\quad \text{en } [-1,0]$

$\textbf{b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones. [1 punto]}$

El recinto está limitado por los dos puntos de corte, y por el apartado anterior sabemos cuál de las dos curvas va por encima, así que el área es la integral de la diferencia sin necesidad de valores absolutos ni de partir el intervalo.



$\mathcal{A}=\int_{-1}^{0}\left[g(x)-f(x)\right]dx=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}+x^{2}\right)dx$

$=\left[\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{0}=0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right)$

$=-\left(\dfrac{3-4}{12}\right)=\dfrac{1}{12}$

El área del recinto es $\dfrac{1}{12}\approx 0{,}083$ unidades de área.