Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular:

a) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{3}+4x^{2}}$ [1 punto]

b) $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x)\,dx$ [1 punto]

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{3}+4x^{2}}}\textbf{. [1 punto]}$

Al sustituir se anulan numerador y denominador, así que hay que deshacer la indeterminación.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{3}+4x^{2}}=\dfrac{0}{0}$

Sacamos factor común $x^{2}$ en el denominador y usamos el infinitésimo equivalente $\operatorname{sen}(u)\sim u$ cuando $u\to 0$, con $u=x^{2}$:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}(x+4)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}}{x^{2}(x+4)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x+4}$

$=\dfrac{1}{0+4}=\dfrac{1}{4}$

El valor del límite es $\dfrac{1}{4}$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

El integrando es una potencia del coseno multiplicada por su derivada salvo el signo, así que resolvemos con un cambio de variable.

$\begin{cases} t=\cos x \\ dt=-\operatorname{sen}(x)\,dx \end{cases}\qquad \begin{cases} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=0 \end{cases}$

$\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x)\,dx=-\int_{1}^{0}t^{3}\,dt=\int_{0}^{1}t^{3}\,dt$

$=\left[\dfrac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}$

El valor de la integral es $\dfrac{1}{4}$.