Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Dada la función $f(x) = x^{2}(x+3)$, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x) = x^{2}(x+3)}\textbf{, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. [2 puntos]}$

La función es polinómica, $f(x)=x^{3}+3x^{2}$, de modo que no hay ninguna restricción.

$\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}$

Puntos de corte. Con el eje de ordenadas basta hacer $x=0$:

$f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

Con el eje de abscisas igualamos a cero la función factorizada:

$x^{2}(x+3)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0\ (\text{doble}) \\ x=-3 \end{cases} \Rightarrow (0,0)\ \text{y}\ (-3,0)$

Monotonía. Derivamos y sacamos factor común:

$f'(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-2 \end{cases}$

El signo de la derivada es el de la parábola $3x(x+2)$, que abre hacia arriba: positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas.



La función crece en $(-\infty,-2)$, decrece en $(-2,0)$ y vuelve a crecer en $(0,+\infty)$.

Extremos. En $x=-2$ pasa de crecer a decrecer y en $x=0$ de decrecer a crecer:

$f(-2)=4\cdot 1=4 \Rightarrow \text{máximo relativo }(-2,4)$

$f(0)=0 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(0,0)$

El mínimo relativo coincide, pues, con el corte doble con el eje de abscisas, que es lo que hace que la gráfica toque el eje sin atravesarlo en el origen.