Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $(1,0,-1)$ y $(0,1,1)$.

a) Determinar el plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P = (0,0,1)$. [1 punto]

b) Calcular la distancia de la recta $r$ al punto $P = (0,0,1)$. [1 punto]

La recta $r$ queda determinada por uno de los dos puntos y el vector que los une.

$A(1,0,-1)\qquad \vec v_r=(0,1,1)-(1,0,-1)=(-1,1,2)$

$\textbf{a) Determinar el plano que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y al punto } \boldsymbol{P = (0,0,1)}\textbf{. [1 punto]}$

El plano está generado por el punto $A$ y dos direcciones: la de la recta y la que va de $A$ a $P$. Antes conviene ver que $P$ no está en $r$, o el plano no quedaría determinado.

$\overrightarrow{AP}=(0,0,1)-(1,0,-1)=(-1,0,2)$

Los vectores $(-1,1,2)$ y $(-1,0,2)$ no son proporcionales, así que $P\notin r$ y el plano existe y es único.

$\vec n=\vec v_r\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}=(2,\,0,\,1)$

$\pi\equiv 2x+z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,0,-1)$:

$2-1+D=0 \Rightarrow D=-1$

$\pi\equiv 2x+z-1=0$

Se comprueba con los otros dos puntos: $(0,1,1)$ da $0+1-1=0$ y $P(0,0,1)$ da $0+1-1=0$.

$\textbf{b) Calcular la distancia de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ al punto } \boldsymbol{P = (0,0,1)}\textbf{. [1 punto]}$

Usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta, que mide el área del paralelogramo construido sobre $\overrightarrow{AP}$ y $\vec v_r$ dividida por la base.



$d(P,r)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_r\right|}{\left|\vec v_r\right|}$

$\overrightarrow{AP}\times\vec v_r=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=(-2,\,0,\,-1)$

$\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_r\right|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}$

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$d(P,r)=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\approx 0{,}913\ \text{u}$

La distancia del punto $P$ a la recta $r$ es $\dfrac{\sqrt{30}}{6}\approx 0{,}913$ unidades.