Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dadas las rectas $r_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ y $r_2 \equiv \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{2}$.

a) Razonar si existe un plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$. [1 punto]

b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que contiene al punto $(1,0,0)$. [1 punto]

$\textbf{a) Razonar si existe un plano perpendicular a } \boldsymbol{r_2}\textbf{ que contenga a } \boldsymbol{r_1}\textbf{. [1 punto]}$

Un plano perpendicular a $r_2$ tiene por vector normal el director de esa recta. Para que además contenga a $r_1$, la dirección de $r_1$ tendría que ser perpendicular a esa normal.

$\vec v_1=(1,2,1)\qquad \vec v_2=(3,2,2)$

$\vec v_1\cdot\vec v_2=3+4+2=9\neq 0$

El producto escalar no se anula, luego $\vec v_1$ no es perpendicular a $\vec v_2$ y ningún plano de normal $\vec v_2$ puede contener a $r_1$.

No existe, por tanto, ningún plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$.

$\textbf{b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{ y que contiene al punto } \boldsymbol{(1,0,0)}\textbf{. [1 punto]}$

Un vector perpendicular a los dos directores a la vez es su producto vectorial.

$\vec w=\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix}=(2,\,1,\,-4)$

Se comprueba con los dos productos escalares: $\vec w\cdot\vec v_1=2+2-4=0$ y $\vec w\cdot\vec v_2=6+2-8=0$.

Con ese director y el punto dado, la recta es

$s\equiv\begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=-4\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

o, en forma continua, $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-4}$.