Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Obtener todas las soluciones del sistema siguiente: [1 punto]

$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$

b) Determinar todos los $a, b \in \mathbb{R}$ para que $x = 5$, $y = -2$, $z = -2$ sea solución del sistema

$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ ax + 2ay + bz = b \end{cases}$

¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única? [1 punto]

$\textbf{a) Obtener todas las soluciones del sistema siguiente. [1 punto]}$

Son dos ecuaciones con tres incógnitas, así que el rango no puede pasar de $2$ y, al no ser las filas proporcionales, vale exactamente $2$: el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y-z=3 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece $x$:

$y-2z=2 \Rightarrow y=2+2z$

y sustituyendo en la primera se despeja $x$:

$x=1-y-z=1-(2+2z)-z=-1-3z$

Tomando $z=t$ como parámetro:

$\begin{cases} x=-1-3t \\ y=2+2t \\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la segunda ecuación: $(-1-3t)+2(2+2t)-t=-1-3t+4+4t-t=3$.

Las soluciones son los infinitos puntos de la recta $(-1-3t,\,2+2t,\,t)$.

$\textbf{b) Determinar todos los } \boldsymbol{a, b \in \mathbb{R}}\textbf{ para que } \boldsymbol{x = 5}\textbf{, } \boldsymbol{y = -2}\textbf{, } \boldsymbol{z = -2}\textbf{ sea solución del sistema. ¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única? [1 punto]}$

Esa terna ya cumple las dos primeras ecuaciones —se obtiene del apartado anterior con $t=-2$—, de modo que la única condición nueva viene de la tercera.

$a\cdot 5+2a\cdot(-2)+b\cdot(-2)=b$

$5a-4a-2b=b \Rightarrow a=3b$

Para todo $b\in\mathbb{R}$ y $a=3b$ la terna dada es solución del sistema.

Para que además sea la única solución, el sistema tiene que ser compatible determinado, y para ello el determinante de la matriz de coeficientes no puede anularse.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ a & 2a & b \end{vmatrix}=2b+2a-a-(2a-b+2a)$

Desarrollando y simplificando:

$|A|=a+b$

Sustituyendo la relación $a=3b$ obtenida antes:

$|A|=3b+b=4b$

$|A|\neq 0 \Leftrightarrow b\neq 0$

La solución es única para los valores con $b\neq 0$ y $a=3b$. Si $b=0$, entonces también $a=0$, la tercera ecuación se reduce a $0=0$ y el sistema vuelve a tener las infinitas soluciones del apartado a).