Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = xe^{-x}$ y el eje de abscisas cuando $x$ varía en el intervalo $[-1,0]$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = xe^{-x}}\textbf{ y el eje de abscisas cuando } \boldsymbol{x}\textbf{ varía en el intervalo } \boldsymbol{[-1,0]}\textbf{. [2 puntos]}$

Antes de integrar hay que averiguar de qué lado del eje queda el recinto, porque si está por debajo la integral sale negativa y el área es su valor absoluto. En $[-1,0]$ se tiene $x\leq 0$ y la exponencial es siempre positiva, de modo que

$f(x)=xe^{-x}\leq 0\quad \text{en } [-1,0]$



Calculamos una primitiva integrando por partes, tomando como $u$ el polinomio:

$\begin{cases} u=x & du=dx \\ dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x} \end{cases}$

$\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}=-e^{-x}(x+1)$

Aplicamos la regla de Barrow:

$\int_{-1}^{0}xe^{-x}dx=\left[-e^{-x}(x+1)\right]_{-1}^{0}=\left(-1\cdot 1\right)-\left(-e^{1}\cdot 0\right)=-1$

Como el recinto queda bajo el eje, el área es el valor absoluto de ese resultado:

$\mathcal{A}=\left|-1\right|=1$

El área del recinto es de $1$ unidad de área.