Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{3}+x-1} - \sqrt{x^{3}+1}}{x-2}$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{3}+x-1} - \sqrt{x^{3}+1}}{x-2}}\textbf{. [2 puntos]}$

Sustituyendo directamente aparece una indeterminación, porque los dos radicandos valen lo mismo en $x=2$.

$\sqrt{8+2-1}=\sqrt{9}=3 \qquad \sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$

$\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x^{3}+x-1}-\sqrt{x^{3}+1}}{x-2}=\dfrac{3-3}{0}=\dfrac{0}{0}$

Antes que derivar conviene multiplicar y dividir por el conjugado del numerador, porque la diferencia de los radicandos es especialmente sencilla:

$\left(x^{3}+x-1\right)-\left(x^{3}+1\right)=x-2$

$\dfrac{\sqrt{x^{3}+x-1}-\sqrt{x^{3}+1}}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt{x^{3}+x-1}+\sqrt{x^{3}+1}}{\sqrt{x^{3}+x-1}+\sqrt{x^{3}+1}}$

$=\dfrac{\left(x^{3}+x-1\right)-\left(x^{3}+1\right)}{(x-2)\left(\sqrt{x^{3}+x-1}+\sqrt{x^{3}+1}\right)}=\dfrac{x-2}{(x-2)\left(\sqrt{x^{3}+x-1}+\sqrt{x^{3}+1}\right)}$

El factor $x-2$ se simplifica y con él desaparece la indeterminación:

$\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}+x-1}+\sqrt{x^{3}+1}}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}$

El valor del límite es $\dfrac{1}{6}$.