Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

a) Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función $f(x) = x(\ln x - 1)$. [1 punto]

b) Calcúlese $\displaystyle\int x(\ln x - 1)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función } \boldsymbol{f(x) = x(\ln x - 1)}\textbf{. [1 punto]}$

El logaritmo neperiano solo está definido para argumentos positivos, y el factor $x$ no añade restricciones.

$\operatorname{Dom} f=(0,+\infty)$

Derivamos con la regla del producto; los dos últimos términos se cancelan:

$f'(x)=1\cdot(\ln x-1)+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x-1+1=\ln x$

$f'(x)=0 \Rightarrow \ln x=0 \Rightarrow x=1$

El logaritmo es negativo entre $0$ y $1$ y positivo a partir de $1$, así que el estudio del signo es inmediato.



La función decrece en $(0,1)$ y crece en $(1,+\infty)$. En $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo:

$f(1)=1\cdot(\ln 1-1)=-1 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(1,-1)$

No hay máximos relativos, ya que $x=1$ es el único punto crítico del dominio.

$\textbf{b) Calcúlese } \boldsymbol{\displaystyle\int x(\ln x - 1)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

Separamos la integral en dos, y solo la primera necesita el método de partes.

$\int x(\ln x-1)\,dx=\int x\ln x\,dx-\int x\,dx$

$\begin{cases} u=\ln x & du=\dfrac{1}{x}\,dx \\ dv=x\,dx & v=\dfrac{x^{2}}{2} \end{cases}$

$\int x\ln x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\int\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\dfrac{x^{2}}{4}$

$\int x(\ln x-1)\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{2}+C=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\dfrac{3x^{2}}{4}+C$

Se comprueba derivando: $x\ln x+\dfrac{x}{2}-\dfrac{3x}{2}=x\ln x-x=x(\ln x-1)$.