Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

a) Determinar $a$ y $b$ de modo que las funciones $f(x) = x^{2} - a$ y $g(x) = (x-b)e^{x}$ tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. [1 punto]

b) Demostrar que la función $f(x) = 2x + \operatorname{sen} x$ solo se anula en el punto $x = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ de modo que las funciones } \boldsymbol{f(x) = x^{2} - a}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x) = (x-b)e^{x}}\textbf{ tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. [1 punto]}$

Hay dos condiciones que imponer: que las dos funciones tengan su extremo en la misma abscisa y que allí coincidan sus valores. Empezamos localizando los extremos de cada una.

$f'(x)=2x=0 \Rightarrow x=0$

La parábola tiene su único extremo, un mínimo, en $x=0$, y esa posición no depende de $a$.

$g'(x)=e^{x}+(x-b)e^{x}=e^{x}\left(x-b+1\right)$

$g'(x)=0 \Rightarrow x-b+1=0 \Rightarrow x=b-1$

Para que los dos extremos estén en el mismo punto:

$b-1=0 \Rightarrow b=1$

Imponemos ahora que los valores coincidan en $x=0$:

$f(0)=-a \qquad g(0)=(0-1)e^{0}=-1$

$-a=-1 \Rightarrow a=1$

Comprobamos que en $x=0$ hay realmente un extremo de $g$: como $e^{x}>0$, el signo de $g'(x)=e^{x}x$ es el de $x$, negativo antes y positivo después, luego se trata de un mínimo, igual que en $f$.

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=1$, y el punto común es $(0,-1)$.

$\textbf{b) Demostrar que la función } \boldsymbol{f(x) = 2x + \operatorname{sen} x}\textbf{ solo se anula en el punto } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Hay que probar dos cosas: que se anula en $x=0$, que es inmediato, y que no lo hace en ningún otro punto, que sale de la monotonía.

$f(0)=2\cdot 0+\operatorname{sen} 0=0$

$f'(x)=2+\cos x$

El coseno está siempre comprendido entre $-1$ y $1$, de modo que

$f'(x)=2+\cos x\geq 2-1=1>0\quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}$

La derivada es estrictamente positiva en todo $\mathbb{R}$, así que $f$ es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva: no puede tomar el valor $0$ dos veces.

Como se anula en $x=0$ y no puede hacerlo en ningún otro punto, $x=0$ es su único cero.