Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dados el plano $\pi \equiv x + 2y - 2z = 0$ y la recta $r \equiv \dfrac{x}{-2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-1}{1}$, se pide:

a) Comprobar que $r$ es paralela a $\pi$. [1 punto]

b) Hallar el plano $\sigma$, distinto de $\pi$ y paralelo a $\pi$, cuya distancia a $r$ coincide con la de $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Comprobar que } \boldsymbol{r}\textbf{ es paralela a } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano y, además, ningún punto de la recta pertenece al plano.

$\vec n_{\pi}=(1,2,-2)\qquad \vec v_r=(-2,2,1)\qquad A(0,4,1)\in r$

$\vec n_{\pi}\cdot\vec v_r=-2+4-2=0$

Falta descartar que la recta esté contenida en el plano, y para eso basta con un punto:

$A(0,4,1):\ 0+2\cdot 4-2\cdot 1=6\neq 0 \Rightarrow A\notin\pi$

La recta $r$ es, por tanto, paralela al plano $\pi$ y no está contenida en él.

$\textbf{b) Hallar el plano } \boldsymbol{\sigma}\textbf{, distinto de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y paralelo a } \boldsymbol{\pi}\textbf{, cuya distancia a } \boldsymbol{r}\textbf{ coincide con la de } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Al ser $r$ paralela a $\pi$, su distancia al plano es la de cualquiera de sus puntos; usamos $A$.

$d(r,\pi)=d(A,\pi)=\dfrac{|0+8-2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{6}{3}=2$

Los planos paralelos a $\pi$ comparten su vector normal y solo se distinguen en el término independiente:

$\sigma\equiv x+2y-2z=D$

Imponemos que $A$ diste de $\sigma$ lo mismo que de $\pi$:

$\dfrac{|6-D|}{3}=2 \Rightarrow |6-D|=6$

$6-D=6 \Rightarrow D=0 \qquad 6-D=-6 \Rightarrow D=12$

La primera solución es el propio plano $\pi$, que el enunciado excluye, así que nos quedamos con la otra.

$\sigma\equiv x+2y-2z=12$



El plano pedido es $\sigma\equiv x+2y-2z=12$: es el simétrico de $\pi$ respecto de la recta, que queda justo a la mitad de camino entre ambos.