Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Calcular la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular al plano $\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0$ y pasa por los puntos $P = (0,0,0)$ y $Q = (0,1,1)$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que es perpendicular al plano } \boldsymbol{\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0}\textbf{ y pasa por los puntos } \boldsymbol{P = (0,0,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q = (0,1,1)}\textbf{. [2 puntos]}$

El plano buscado contiene la dirección que une los dos puntos dados y, por ser perpendicular a $\sigma$, contiene también la dirección del vector normal de $\sigma$. Su normal es entonces el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{PQ}=(0,1,1)-(0,0,0)=(0,1,1)\qquad \vec n_{\sigma}=(1,2,3)$

$\vec n_{\pi}=\overrightarrow{PQ}\times\vec n_{\sigma}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=(1,\,1,\,-1)$

$\pi\equiv x+y-z+D=0$

Como $P$ es el origen de coordenadas, el término independiente se anula:

$0+0-0+D=0 \Rightarrow D=0$

$\pi\equiv x+y-z=0$



Comprobamos las dos condiciones. Pasa por $Q(0,1,1)$, ya que $0+1-1=0$; y es perpendicular a $\sigma$, porque sus normales son ortogonales:

$\vec n_{\pi}\cdot\vec n_{\sigma}=(1,1,-1)\cdot(1,2,3)=1+2-3=0$

El plano pedido es $\pi\equiv x+y-z=0$.