Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Calcular $\lambda$ y $\mu$ para que el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{cases} x + 2y + z = \mu \\ \lambda x + y = 1 \\ y + \lambda z = -1 \end{cases}$

tenga infinitas soluciones. [2 puntos]

$\textbf{Calcular } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ y } \boldsymbol{\mu}\textbf{ para que el sistema de ecuaciones lineales tenga infinitas soluciones. [2 puntos]}$

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado, es decir, cuando los dos rangos coinciden y son menores que el número de incógnitas. La primera condición es, por tanto, que el determinante de la matriz de coeficientes se anule.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu \\ \lambda & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \lambda & -1 \end{array}\right)$

$|A|=1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\lambda-2\lambda^{2}+\lambda$

$|A|=2\lambda-2\lambda^{2}=2\lambda(1-\lambda)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases} \lambda=0 \\ \lambda=1 \end{cases}$

Estudiamos los dos valores por separado, porque anular el determinante no basta: hay que comprobar además que el sistema no resulte incompatible.

Para $\lambda=0$ el sistema es

$\begin{cases} x+2y+z=\mu \\ y=1 \\ y=-1 \end{cases}$

Las dos últimas ecuaciones se contradicen entre sí, y eso ocurre sea cual sea $\mu$: el sistema es incompatible y este valor hay que descartarlo.

Para $\lambda=1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Para que el rango de la ampliada sea también $2$ hay que exigir que se anule el menor de orden tres que se obtiene orlando el anterior con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \mu \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}=-1+0+\mu-0-1+2=\mu$

$\mu=0$

Con esos valores, $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones únicamente para $\lambda=1$ y $\mu=0$.