Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^{2}-3x+2}$, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales. [1 punto]

b) Calcular $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^{2}-3x+2}\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Dada la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{\ln x}{x^{2}-3x+2}}\textbf{, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales. [1 punto]}$

El dominio lo limitan dos cosas: el logaritmo, que exige argumento positivo, y el denominador, que no puede anularse.

$x^{2}-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=2 \end{cases}$

$\operatorname{Dom} f=(0,+\infty)\setminus\{1,\,2\}$

Asíntotas verticales. Los candidatos son los tres puntos que quedan fuera del dominio, y hay que estudiarlos uno a uno.

En $x=0$, el logaritmo tiende a $-\infty$ y el denominador a $2$:

$\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x^{2}-3x+2}=\dfrac{-\infty}{2}=-\infty$

luego $x=0$ es asíntota vertical.

En $x=1$ se anulan a la vez el numerador y el denominador, así que hay que resolver la indeterminación con la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x^{2}-3x+2}=\dfrac{0}{0}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{2x-3}=\dfrac{1}{-1}=-1$

El límite es finito, de modo que $x=1$ no es asíntota vertical: es una discontinuidad evitable.

En $x=2$ el numerador vale $\ln 2\neq 0$ y el denominador se anula cambiando de signo:

$\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{\ln x}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{\ln 2}{0^{-}}=-\infty \qquad \lim_{x\to 2^{+}}=\dfrac{\ln 2}{0^{+}}=+\infty$

luego $x=2$ sí es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. En el infinito el denominador, de grado dos, crece mucho más deprisa que el logaritmo:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{2}-3x+2}=0$

de modo que $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha. Por la izquierda no hay rama, porque el dominio empieza en $0$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{1}{x^{2}-3x+2}\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

El denominador se factoriza en raíces reales simples, así que descomponemos el integrando en fracciones simples.

$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2} \Rightarrow 1=A(x-2)+B(x-1)$

Damos a $x$ los valores de las raíces:

$x=1:\ 1=-A \Rightarrow A=-1 \qquad x=2:\ 1=B \Rightarrow B=1$

$\int\dfrac{dx}{x^{2}-3x+2}=-\int\dfrac{dx}{x-1}+\int\dfrac{dx}{x-2}=-\ln|x-1|+\ln|x-2|+C$

$\int\dfrac{dx}{x^{2}-3x+2}=\ln\left|\dfrac{x-2}{x-1}\right|+C$