Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Calcular los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales la función $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ tiene extremos relativos en $x = 0$ y $x = 2$ y además la gráfica de $f(x)$ corta al eje de abscisas para $x = 1$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para los cuales la función } \boldsymbol{f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c}\textbf{ tiene extremos relativos en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y además la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ corta al eje de abscisas para } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [2 puntos]}$

Las tres condiciones dan tres ecuaciones. Las dos primeras hablan de extremos, así que empezamos por la derivada.

$f'(x)=3x^{2}+2ax+b$

En un extremo relativo la derivada se anula:

$f'(0)=b=0$

$f'(2)=12+4a+b=0$

Sustituyendo ya $b=0$ en la segunda:

$12+4a=0 \Rightarrow a=-3$

La tercera condición dice que la gráfica pasa por el punto $(1,0)$:

$f(1)=1+a+b+c=0 \Rightarrow 1-3+0+c=0 \Rightarrow c=2$

Queda por comprobar que en los dos puntos hay realmente extremos y no inflexiones. Con los valores obtenidos,

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \Rightarrow f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$

$f''(x)=6x-6$

$f''(0)=-6<0 \Rightarrow \text{máximo relativo}$

$f''(2)=6>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

Los valores pedidos son $a=-3$, $b=0$ y $c=2$.