Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\cos x - a}{bx^{2}}, & \text{si } x \neq 0, \\[2mm] 1, & \text{si } x = 0, \end{cases}$ ¿qué valores tienen que tomar los parámetros $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R} - \{0\}$ para que esta función sea continua en todo $\mathbb{R}$? [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, ¿qué valores tienen que tomar los parámetros } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ y } \boldsymbol{b \in \mathbb{R} - \{0\}}\textbf{ para que esta función sea continua en todo } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{? [2 puntos]}$

Para $x\neq 0$ la función es un cociente de funciones continuas cuyo denominador $bx^{2}$ no se anula, así que es continua sea cual sea $a$. El único punto que hay que estudiar es $x=0$, donde la continuidad exige

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-a}{bx^{2}}=f(0)=1$

El denominador tiende a cero, de modo que el límite solo puede ser finito si el numerador también tiende a cero. Esa es la primera condición y da el valor de $a$:

$\lim_{x\to 0}(\cos x-a)=1-a=0 \Rightarrow a=1$

Con ese valor el límite queda de la forma $\dfrac{0}{0}$ y lo resolvemos aplicando dos veces la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-1}{bx^{2}}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{-\operatorname{sen} x}{2bx}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{-\cos x}{2b}=-\dfrac{1}{2b}$

Imponemos ahora que ese límite valga $1$:

$-\dfrac{1}{2b}=1 \Rightarrow -1=2b \Rightarrow b=-\dfrac{1}{2}$

El valor obtenido cumple la condición $b\neq 0$ del enunciado.

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ únicamente para $a=1$ y $b=-\dfrac{1}{2}$.