Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función $f(x) = e^{x} + x^{3} - 2$, demostrar que $f(x)$ se anula para algún valor de $x$ y que ese valor es único. [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x) = e^{x} + x^{3} - 2}\textbf{, demostrar que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ se anula para algún valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ y que ese valor es único. [2 puntos]}$

Hay que probar dos cosas distintas: la existencia de la raíz, que sale del teorema de Bolzano, y su unicidad, que sale de la monotonía.

La función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, por ser suma de una exponencial y un polinomio.

Existencia. Buscamos un intervalo en cuyos extremos $f$ cambie de signo:

$f(0)=e^{0}+0-2=1-2=-1<0$

$f(1)=e+1-2=e-1\approx 1{,}718>0$

Como $f$ es continua en $[0,1]$ y $f(0)\cdot f(1)<0$, el teorema de Bolzano asegura que existe $c\in(0,1)$ tal que $f(c)=0$.

Unicidad. Derivamos y estudiamos el signo:

$f'(x)=e^{x}+3x^{2}$

La exponencial es siempre estrictamente positiva y $3x^{2}\geq 0$, de modo que

$f'(x)>0\quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}$

La función es estrictamente creciente en todo su dominio y, por tanto, inyectiva: no puede tomar el valor $0$ más de una vez.

Uniendo ambas conclusiones, $f$ se anula exactamente en un punto, situado en el intervalo $(0,1)$.