Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Determinar el plano que pasa por los puntos $P = (1,1,2)$ y $Q = (3,-1,1)$ y es paralelo a la recta $r \equiv x - 1 = y = z$. [2 puntos]

$\textbf{Determinar el plano que pasa por los puntos } \boldsymbol{P = (1,1,2)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q = (3,-1,1)}\textbf{ y es paralelo a la recta } \boldsymbol{r \equiv x - 1 = y = z}\textbf{. [2 puntos]}$

Un plano queda determinado por un punto y dos direcciones independientes. Aquí las direcciones son la que une los dos puntos dados y la de la recta, ya que ser paralelo a $r$ significa contener su dirección.

$\overrightarrow{PQ}=(3,-1,1)-(1,1,2)=(2,-2,-1)$

$\vec v_r=(1,1,1)$

Los dos vectores no son proporcionales, así que determinan un plano. Su normal es el producto vectorial:

$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\vec v_r=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(-1,\,-3,\,4)$

Cambiando el signo, $\vec n=(1,3,-4)$, y el plano es

$\pi\equiv x+3y-4z+D=0$

Imponemos que pase por $P(1,1,2)$:

$1+3-8+D=0 \Rightarrow D=4$

$\pi\equiv x+3y-4z+4=0$



Comprobamos las dos condiciones. Pasa por $Q(3,-1,1)$, ya que $3-3-4+4=0$; y es paralelo a $r$, porque la normal es ortogonal al director, $(1,3,-4)\cdot(1,1,1)=0$. Además la recta no está contenida en el plano, pues su punto $(1,0,0)$ da $1+0-0+4=5\neq 0$, de modo que el paralelismo es estricto.

El plano pedido es $\pi\equiv x+3y-4z+4=0$.